CRB学习

CRB单位是角度还是弧度？

对于阵列信号处理的文章，角度$\theta$的CRB值通常只与$\cos \theta$或者$\sin \theta$有关，例如Conditional and unconditional Cramér-Rao bounds for near-field source localization这篇文章里：

$$\mathrm{CRB}(\theta)=\left(1+\frac{1}{\mathrm{U}_{SNR}N}\right)\frac{3\lambda^2}{2\mathrm{U}_{SNR}Ld^2\pi^2\cos^2(\theta)}\frac{(8N-11)(2N-1)}{N(N^2-1)(N^2-4)}$$

因此对于CRB来说好像$\theta$是弧度还是角度没有什么区别，$\cos 60°$和$\cos \frac{2}{3}\pi$。
CRB是无偏估计的性能下界，有如下表达：

$$\mathrm{MSE}([\hat{\boldsymbol{\eta}}]_i)=E\left\{\left([\hat{\boldsymbol{\eta}}]_i-[\boldsymbol{\eta}]_i\right)^2\right\}\geq\left[\mathrm{CRB}(\boldsymbol{\eta})\right]_{i,i}$$

但是MSE来说，角度还是弧度就有直观区别的，毕竟$30°-29.8°$ 和 $\frac{1}{2}-0.4969$是不一样的，当然单位也不一样，那究竟选什么单位和CRB去比较呢？到底什么是正确的呢？
那我们还是从CRB的推导里寻找答案吧。
这篇文章用了变量代换，先不说这篇文章变量代换是非线性的导致的是否正确，我们只去关注CRB是角度还是弧度。变量代换这一步出现了arcsin这个表达，并且对其求导：

$$(\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

这个公式本质和$(\sin x)’= \cos x$一样，那本质上这个公式是角度还是弧度制呢，ok回到了初高中的问题。
我去推导了$(\sin x)’= \cos x$这个公式的由来，发现最后变成了一个求极限问题：

$$\lim_{\triangle x->0}=\frac{\sin \triangle x}{\triangle x} = 1$$

那这里$\triangle x$是角度制还是弧度制呢？
对于一个半径为1的圆，如果用弧度制，那么对于中心角度为$\theta$的扇形面积为$\frac{\theta}{2}$，注意这里是弧度才能成立，内围的三角形面积是$\frac{\sin \theta}{2}$，外围的三角形面积是$\frac{\tan \theta}{2}$，那么可以得到：

$$\frac{\sin \theta}{2}<\frac{\theta}{2}<\frac{\tan \theta}{2}$$

那么进一步：

$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$，x趋于0时夹逼准则成立，推出极限。
可以看到，这个公式成立是弧度制来的，所以CRB也是跟MSE的弧度制去比较的，一涉及$\sin x$的导数就已经是弧度制了。